Чему равна сумма углов треугольника?

Как ни странно, но даже на вогнутой поверхности прикаспийской низменности сумма безошибочно измеренных углов будет больше 180°.
Не надо путать понятия измеренного угла с его проекцией на земную поверхность.

 

Геометрия на плоскости принимает все три аксиомы Эвклида, то есть:
1) прямая линия есть кратчайшее расстояние между двумя точками;
2) каждую фигуру можно переносить на другое место, не нарушая ее свойств;
3) параллельные линии не встречаются. (Эта последняя аксиома обыкновенно выражается по Эвклиду иначе).
В геометрии на сфере или на вогнутой поверхности верны только две первые аксиомы, так как меридианы параллельные у экватора у полюсов уже встречаются. Причем в геометрии на сфере сумма трех углов треугольника более двух прямых, а в геометрии на вогнутой поверхности — меньше двух прямых.
В геометрии на поверхности с неправильной кривизной верна только первая аксиома, вторая — о переносе фигур, уже невозможна, так как фигура, взятая в одном месте неправильной поверхности, может измениться при переносе на другое место.
И сумма углов треугольника может быть и больше, и меньше двух прямых.

 

Причем здесь аномалии силы тяжести? Где я их упоминал?
Речь была не более чем о треугольнике на вогнутой поверхности.

 

Затем же, зачем и на выпуклой

 

Откуда взялась вогнутая поверхность? Какими параметрами задаётся эта поверхность? Когда привел приближённую формулу для эксцесса, исходил из стандартной практики редукции измерений на поверхность эллипсоида. Т.е. эта поверхность относимости задана априори. Из измерений только углов одного треугольника её получить нельзя.

 

wolodya, сколько плоскостей может проходить через три точки?

замечание принимается

 

Оффтоп

почитал, попытался визуализировать хотя-бы плоскость. простите, если не смог понять условия задачи.

 

pauz, говоря другими словами, Вы таким образом на каждом из трёх углов, не обращая внимания на отвесные линии, устанавливаете ось вращения прибора по нормали к плоскости треугольника. Измерив в плоском треугольнике безошибочно все три угла и получив их сумму равную 180°, Вы могли бы ещё раз подтвердить то, что давно было доказано теоремами. Вот только реализовать такой план практически невозможно.
Если же на каждом из углов ось вращения прибора устанавливать по отвесной линии, тогда, каждый из углов будет измеряться в своей плоскости.
Как правильно заметил wolodya:

Ведь прибором угол измеряется в плоскости нормальной отвесной линии. А отвесные линии не параллельны - они сходящимся пучком направлены куда-то в сторону центра Земли. Поэтому измеряются углы не плоского, а сферического треугольника, что всегда даёт сумму большую чем 180°. Даже в местах с гравитационной аномалией, где пучок отвесных линий расходящийся (вдруг есть такое) сумма углов будет больше 180°. Минимальную сумму (ровно 180°) можно получить при параллельных отвесных линиях.

 

Is.Nic, как Вы, возможно не разобрались в моих объяснениях, так я пока не разобрался в Вашем рисунке.

ЮС,
да, именно так.

Наверное, так бы стал мерить углы треугольника не-геодезист, т.е. человек, не имеющий понятия об отвесных линиях и назначении уровня, но не лишенный сообразительности. Доказано теоремами, говорите? Никто нам не обещает то, что в физическом мире теоремы будут выполняться! Гравитационную постоянную (или закон обратных квадратов расстояний) до сих пор пытаются уточнить, в том числе и гравиметрическими методами (были в ГАИШе такие работы), хотя на микро- (т.е. лабораторном) и макро- (в космических масштабах) она худо-бедно известна в третьем знаке что ли...

а вот почему технически Вы считаете это нельзя реализовать - я не понял. На уровни мы не смотрим! Силовые линии ни при чём! В. Шуфотинский считает, что не хватит подъемных винтов. Хватит! Если пункты будут вблизи горизонта....

ах, да, у нас обычный теодолит, а не тахеометр с компенсатором!

 

Оффтоп

Треугольник будет выпит: будь он хоть параллепипед, будь он круг, ядрёна вошь!!! (В.С. Высоцкий)

 

Потому, что не бывает безошибочных измерений. К сожалению...

 

Ошибки могут быть у каждого.

 

Отличие геометрии на шаре и на плоскости (эвклидова геометрия) заставили Гаусса задуматься над проверкой постулатов опытным путем. Собрав в своем хозяйстве угломерные инструменты он выбрал три горных вершины Хохен-Хаген, Инзельсберг и Брокен(ведьмина гора), вершины составляли по его мнению подходящий треугольник. Гаусс измерял его углы со всей доступной в то время инструментам точностью. Измерив несколько раз никакого отклонения от 180 градусов сумма углов треугольника не дала.

 

тех кто видел уже нет. Просто если у Гаусса получилась сумма углов треугольника 180 градусов, почему у других геодезов с применением более совершенной техники должно получиться по другому?