Парадокс при предрасчете точности

Добрый день, коллеги. Задумал тут сделать предрасчет точности хода тригонометрического нивелирования и столкнулся с противоречием, которое поставило меня в тупик. Подскажите, где я ошибаюсь.

Измеряем превышение на расстоянии 1000м с точностью верт.угла 5 сек, предположим, что линия близка к горизонту, поэтому ошибкой дальномера пренебрегаем. Тогда СКО превышения вычислим по формуле:
Mdh=(5/206265)*1000 000 = 24 мм.
Теперь разобьем эту линию на 2 равные части по 500 м, и вычислим СКО превышения для каждой отдельно:
Mdh1=(5/206265)*500 000 = 12 мм., Md2h=(5/206265)*500 000= 12 мм.
Теперь имея вычисленные отдельные превышения и их ошибки и учитывая что Mdh1=Md2h, получим общую ошибку:
Mdh=√2 * 12 = 17 мм.
В общем, идея думаю ясна - разбив на 4 части, таким макаром получим общую ошибку 6*√4 = 12 мм. и т.д.
Так и должно быть? Или я где-то ошибаюсь?

 

Яркий пример того, как глупо поставленная здача и незнание азбуки геодезии приводят к дурацкому результату.
Невозможно определить превышение по измерениям вертикальных углов без знания расстояния(наклонного, а тем боле горизонтального проложения) до объекта.
Запишите правильно формулу превышения из тригонометрического нивелирования, учтите в ней не только точность измерения угла, но точность измерения расстояния и все станет на свои места.

 

Оффтоп

"Хотелось бы услышать начальника транспортного цеха!" (смоделируй ситуацию в CREDO, RGS,...)

 

Расстояния естественно измеряются - прочтите задачу внимательно. Ошибку измерения расстояния здесь не рассматривается в силу ничтожности ее влияния на результат измерения превышения, да и на суть вопроса в целом. Ошибка измерения расстояния на отражатель у современных тахометров около 2-3 мм на 1000 м, при углах наклона измеряемой линии до 30 градусов ее влияние на точность превышения будет 1-1.5 мм, в то время влияние угловой ошибки 5 секундного тахеометра на том же расстоянии - 24 мм. Очевидно, ее влияние пренебрежительно мало.
Тут вопрос больше о теории ошибок измерений. Повторюсь - по правилам суммирования случайных ошибок получается такая картина:
- если измеряем превышение сразу на все 1000 м, то имеем ошибку Mdh=(5/206265)*1000 000 = 24 мм.
- если разбиваем на 2 по 500м - ошибка =24/2*√2 = 17 мм.
- если разбиваем на 4 по 250м, ошибка = 24/4*√4=12 мм
- если разбиваем на 10 по 100м, ошибка = 24/10*√10=7.6 мм и т.д...
т.е. чем на большее число частей мы разделяем линию, тем меньше получается общая ошибка

Причем, если мы всю линию измеряем, например, 2,4,10 раз, то согласно теории ошибок измерений, ее ошибка составит:
2 раза - 24/√2=17
4 раза - 24/√4=12
10 раз - 24/√10=7.6

Т.е. общая ошибка на участке при разбиении его на n частей получается ровно такая же, как если бы мы весь участок измеряли соответственно n раз.
Верен ли данный вывод, или где-то ошибся?

 

Оффтоп

"Жаль! Жаль, что мы так и не услышали начальника транспортного цеха!" https://geodesist.ru/threads/paradoks-pri-predraschete-tochnosti.86014/#post-978722

 

Я точно не помню но вроде как считается как корень из суммы квадратов каждой погрешности.

 

Спасибо за совет, при сложной конфигурации сети, когда важен геометрический фактор я бы возможно так и сделал, но тут задачка больше "понятийная"

 

Не согласен. Если угол наклона до визирной цели, к примеру, 20°, а дальномер измеряет данное расстояние с ошибкой 3 мм, тогда вы получите дополнительный источник ошибки, равный 3 мм * sin 20° = 1 мм.

На таких линиях нельзя не учитывать влияние вертикальной рефракции. Одной приборной погрешностью здесь ограничиться не выйдет.

Расчёт можно принять, но только как показатель того, что влияние приборной ошибки измерения вертикального угла на измеряемое превышение уменьшается с увеличением числа станций. Но это нельзя назвать предрасчётом точности измерений, слишком много факторов не учитывается. Моделируйте рефракцию, учитывайте ошибку измерения линии в зависимости от углов наклона до визирных целей. Да и методика не уточняется - можно выполнять: а) тригонометрическое нивелирование в одном направлении; б) в двух направлениях (одновременно или не одновременно); в) тригонометрическое нивелирование из середины. Также не уточняется число приёмов. От методики зависит, какие ошибки необходимо учитывать, а какие компенсируются или ослабляются. Например, при методике из середины можно свести к нулю влияние ошибки из-за измерения высоты инструмента и визирных целей.

--- Сообщения объединены, 19 ноя 2020, Оригинальное время сообщения: 19 ноя 2020 ---

А вот предрасчёт сети (или одиночного хода) - это уже совершенно другой вопрос. Предрассчитанные точности измерений в таком случае могут использоваться в качестве вводных данных.

Да, кстати. Эту тему бы не в науку, а в песочницу надо. Раздел не тот выбрали.

 

Я понимаю, что при определения превышения методом триг.нив. много источников ошибок, помимо ошибки измерения верт. угла, не хотел их специально рассматривать что бы, акцентировать на вопросе, который меня интересует, получилось наоборот...
Давайте для простоты представим, что нет никаких ошибок, кроме ошибки измерения вертикального угла, работаем на плоскости в вакууме.
В таком случае верно ли что, если разбить участок на N частей и измерить превышения на каждой части отдельно, то общая ошибка получается ровно такая же, как если бы мы весь участок измеряли соответственно N раз"??

 

А где тута парадокс?

Я вижу что все логично.
Измерил один раз с точностью 24 и получил 24
Измерил 2 раза с точностью 12, получил 17 (с учетом того что случайные ошибки иногда компенсируют друг-друга получили немного точнее)

 

Да, парадокс, громко сказано) Скажем так - для меня это было как-то не совсем очевидно.
Вот измерил одну линию 2 раза с ошибкой 24, получи итоговую ошибку 24/√2=17 - это очевидно.
А то, что то же самое в итоге получается при разбиении линии на 2 части - вот не было очевидно (хоты по теории выходило), решил спросить у общественности.

 

Если абстрагироваться от реальности и оставить только влияние инструментальной ошибки измерения вертикального угла, то всё сводится именно к этому. Только вот какое это имеет значение? Повторение арифметики?

 

Всё сводится именно к этому, если посмотреть внимательнее, не только при учете ошибки верт.угла, но и при учете всех случайных ошибок, которые пропорциональны расстоянию, в т.ч. и верт.рефракции и дальномера, поэтому значение это имеет. Да, конечно, это арифметика, которая была мне не очевидна, потому и поднял вопрос и согласен, не в той теме.

 

С вертикальной рефракцией всё далеко не так очевидно. Да и с дальномером пример неудачный. Пойдём по порядку.

1) Вертикальная рефракция. Имеют место колебания углов вертикальной рефракции как короткопериодические, так и суточные. Первые, в принципе, можно рассматривать как случайную ошибку, но их дисперсия тем больше, чем больше линия. То есть дисперсия (и соответственно СКП) систематически возрастает с увеличением расстояния между пунктами. Суточные колебания - однозначно систематика, её влияние может быть значительно ослаблено наблюдениями в разное время суток (утренняя и вечерняя изотермия - постоянство температуры) и/или наблюдениями в двух направлениях. Итог: можно ли говорить о том, что разделение длинной линии на несколько частей снизит влияние вертикальной рефракции? В принципе да, но характер уменьшения ошибок здесь будет другим. Это скорее ослабление (или исключение при разделении линии на совсем короткие части) систематического возрастания СКП угла рефракции с расстоянием, нежели ослабление случайной погрешности путём многократных измерений.

2) Линейные измерения светодальномером. Приборная погрешность записывается в виде общеизвестного выражения: x₁ мм + x₂ ppm. Например, имеем светодальномер с погрешностью 3 мм + 2 ppm. При измерении линии 1000 метров в одном направлении влияние приборной погрешности составит 5 мм. Если разделить линию, скажем, на 5 частей, тогда влияние приборной погрешности на измерение одной части в одном направлении составит 3.4 мм. А погрешность всей линии как комбинации погрешностей отдельных её частей составит 3.4 мм ⋅ √5 = 7.6 мм. Итог: разделение линии на несколько частей приводит к большему влиянию приборной погрешности.

Если же вы имели в виду дальномер оптический, ошибка которого характеризуется в относительной мере (например, 1/300 для нитяного дальномера), тогда согласен. Получится то же самое, о чём писали выше - при разделении длинной линии на несколько частей её СКП уменьшается. Только кто ж сейчас станет ими мерить длинные линии, да тем более в несколько частей... Единственное практическое применение оптических дальномеров в наши дни - отбивать плечи при работе оптическим нивелиром.

 

Gagarin. Остаюсь при своем мнении о некорректности азбучного решения и ошибок его интерпретации при неверном упрощении.
Формула оценки точности превышения из тригонометрического нивелирования двухкомпонентная - одна часть учитывает СКП линейных измерений с изменением косинуса угла наклона, а вторая учитывает СКП угловых измерений с изменением длины линии линии и синуса угла наклона.
В частности, из-за неучета синуса в вашем случае измерений на плоскости при угле 0 градусов угловая компонента превращается в ноль и на суммарный результат действует только точность линейных измерений. Поэтому ваши рассуждения ошибочны в самом начале. В данном случае работает только та часть формулы, которая зависит от точности линейных измерений. При разделении линии на части погрешности линейных измерений будут умножаться на корень из числа отрезков деления линии.
Т.е. никакой парадоксальности и необычности здесь нет.

 

Может наоборот? 1) Учитывает СКП линейных измерений с изменением синуса угла наклона (или косинуса зенитного расстояния). С увеличением угла наклона то что происходит с влиянием погрешности линии на превышение? Влияние возрастает, а у вас наоборот; 2) Учитывает СКП угловых измерений с изменением длины линии и косинуса угла наклона (или синуса зенитного расстояния)? С увеличением угла наклона что происходит с влиянием погрешности угла же наклона на превышение? Влияние уменьшается, а у вас наоборот.

Может наоборот? При измерении на ровной поверхности в тригонометрическом нивелировании остаётся только ошибка от вертикального угла. А ошибка измерения расстояния практически никак не влияет на превышение.

 

Ну все же, согласитесь, что случайная составляющая в рефракции имеется, а постоянной (зависящей от числа станций) нет, поэтому при увеличении числа станций случайная составляющая ошибки будет ослабевать в том числе и за счет многократных измерений.
Насчет дальномера, - можно рассмотреть и другой пример: например в Leica TS-06 ошибка дальномера равна 1.5 мм + 2.0 ррm. При измерении линии в 10 км ошибка составит 21 мм. А если разбить линию на 5 частей по 2км, то ошибка на 2 км составит 5.5мм, а общая 5.5 мм ⋅ √5 = 12.3 мм.
Итог: разделение линии на несколько частей приводит к увеличению влияния постоянной составляющей случайной погрешности и уменьшению влияния той части погрешности, которая зависит от расстояния.

 

При делении линии на части рефракция постепенно перестаёт влиять совсем. Например, на 40-50 метров её влияние малозаметно даже при измерениях повышенной точности (например, аналогично требованиям II класса геометрического нивелирования). Если выбрать методику при измерениях из середины, то за одну станцию можно измерить превышение на линии 100 метров (два плеча по 50 метров). Уменьшается не влияние этой ошибки при делении линии на много частей, а сама её величина.

А кто будет мерить длины линий в 10 км? Для чего? Для развития сетей? Так на то и спутниковые методы сейчас есть. Быстрее, точнее, да и в долгосрочной перспективе дешевле. И вообще, чтобы линию 10 км тахеометром смерить - это надо на сигнал лезть.

 

Вот, если говорить о практической стороне вопроса, то к спутниковым методам, это как раз, кажется применимо: ошибки там пропорциональны расстояниям, измеряемые вектора значительной длины. При работе с вытянутыми сетями (например 25 точек через 30 км), я обычно оставляю длинные избыточные вектора длиной до 200 км (естественно при достаточном времени наблюдения). Получается, точнее будет если оставлять минимально необходимую цепочку треугольников с векторами до 60 км.

 

Оффтоп

А если "попугаями" мерить, точность вообще зашкалит. А я ведь говорил, что "попугаи" - самая надёжная единица измерений.