Решение обратной линейно-угловой засечки от двух исходных пунктов по упрощённой схеме

Схема:

Исходные данные:
X_T1 = 200.000 м ; Y_T1 = 200.000 м ;
X_T2 = 302.638 м ; Y_T2 = 200.000 м ;
S_T2-T1 = 102.638 м ;
α_T2-T1 = 180° 00' 00.0" .

Результаты измерений:
β_T3 = 35° 08' 14.6" ;
S_T3-T2 = 146.270 м ;
S_T3-T1 = 178.333 м .

Решение (раскрыть) Решение (свернуть)

Решение:

sin β_T3 = 0.575539 ;
По т. синусов:
sin β_T2 = sin β_T3 ⋅ S_T3-T1 / S_T2-T1 = 0.575539 ⋅ 178.333 м / 102.638 м = 0.999996 ;
sin β_T1 = sin β_T3 ⋅ S_T3-T2 / S_T2-T1 = 0.575539 ⋅ 146.270 м / 102.638 м = 0.820204 .

cos β_T3 = 0.817774 ;
По т. косинусов:
cos β_T2 = (S²_T2-T1 + S²_T3-T2 - S²_T3-T1 )/(2 ⋅ S_T2-T1 ⋅ S_T3-T2 ) = 0.004223 ;
cos β_T1 = (S²_T2-T1 + S²_T3-T1 - S²_T3-T2 )/(2 ⋅ S_T2-T1 ⋅ S_T3-T1 ) = 0.572077 .

Вычисление горизонтальных углов:
β_T1 = arctg (sin β_T1 / cos β_T1 ) = 55° 06' 17.8" ;
β_T2 = arctg (sin β_T2 / cos β_T2 ) = 89° 45' 28.9" .

Вычисление угловой невязки в треугольнике:
Σβ = 35° 08' 14.6" + 55° 06' 17.8" + 89° 45' 28.9" = 180° 00' 01.3" ;
f_β = +1.3" .

Введение поправок в углы (по аналогии со съёмочными сетями микротриангуляции):
β_T1 = 55° 06' 17.8" - 0.4" = 55° 06' 17.4" ;
β_T2 = 89° 45' 28.9" - 0.5" = 89° 45' 28.4" ;
β_T3 = 35° 08' 14.6" - 0.4" = 35° 08' 14.2" .

Вычисление дирекционных углов сторон по уравненным углам:
Исходный дирекционный угол: α_T2-T1 = 180° 00' 00.0" ;
α_T1-T3 = α_T2-T1 - 180° + β_T1 = 55° 06' 17.4" ;
α_T3-T2 = α_T3-T1 - 180° + β_T3 = 270° 14' 31.6" ;
Контроль:
α_T2-T1 = α_T3-T2 - 180° + β_T2 = 180° 00' 00.0" .

Вычисление приращений координат:
ΔX_T1-T3 = S_T3-T1 ⋅ cos α_T1-T3 = 178.333 м ⋅ cos 55° 06' 17.4" = +102.0184 м ;
ΔY_T1-T3 = S_T3-T1 ⋅ sin α_T1-T3 = 178.333 м ⋅ sin 55° 06' 17.4" = +146.2663 м ;
ΔX_T3-T2 = S_T3-T2 ⋅ cos α_T3-T2 = 146.270 м ⋅ cos 270° 14' 31.6" = +0.6181 м ;
ΔY_T3-T2 = S_T3-T2 ⋅ sin α_T3-T2 = 146.270 м ⋅ sin 270° 14' 31.6" = -146.2687 м .

ΣΔX = +102.0184 м + 0.6181 м = +102.6365 м ;
ΣΔY = +146.2663 м - 146.2687 м = -0.0024 м .

f_x = -0.0015 м ;
f_y = -0.0024 м .

Введение поправок в приращения координат (по аналогии с теодолитным ходами):
ΔX_T1-T3 = +102.0184 м + 0.0007 м = +102.0191 м ;
ΔY_T1-T3 = +146.2663 м + 0.0012 м = +146.2675 м ;
ΔX_T3-T2 = +0.6181 м + 0.0007 м = +0.6188 м ;
ΔY_T3-T2 = -146.2687 м + 0.0012 м = -146.2675 .

Контроль:
ΣΔX = 102.6379 м ;
ΣΔY = 0.

Окончательное вычисление координат точки Т3:
X_T3 = X_T1 + ΔX_T1-T3 = 200.000 м + 102.0191 м = 302.0191 м ;
Y_T3 = Y_T1 + ΔY_T1-T3 = 200.000 м + 146.2675 м = 346.2675 м.

Оценка точности (раскрыть) Оценка точности (свернуть)

СКО углов по невязке в треугольнике:
f_β = +1.3";
m_β = 1.3" / √3 = 0.8".

СКО линий по абсолютной невязке:
f_x = -0.0015 м ;
f_y = -0.0024 м ;
f_абс = 0.0028 м ;
1/T = f_абс / Σ S = 1/116000 - относительная ошибка линий.

СКО планового положения пункта Т3:
Введение вычисленных СКО в уравненные значения линии S_T1-T3 и угла β_T1 :

S_T1-T3 = 178.3310 м + 178.3310 м / 116000 = 178.3325 м ;
β_T1 = 55° 06' 17.4" + 0.8" = 55° 06' 18.2" ;
α_T1-T3 = α_T2-T1 - 180° + β_T1 = 55° 06' 18.2" .

Повторное вычисление координат пункта Т3:
ΔX_T1-T3 = S_T3-T1 ⋅ cos α_T1-T3 = 178.3325 м ⋅ cos 55° 06' 18.2" = +102.0184 м ;
ΔY_T1-T3 = S_T3-T1 ⋅ sin α_T1-T3 = 178.3325 м ⋅ sin 55° 06' 18.2" = +146.2687 м ;

X_T3 = 302.0184 м ;
X_T3 = 346.2687 м .

Уклонение полученных координат от уравненных их значений примем равным СКО координат:
m_X = 302.0184 м - 302.0191 м = 0.7 мм ≈ 1 мм ;
m_Y = 346.2687 м - 346.2675 м = 1.2 мм ≈ 1 мм .

Итого:
X = 302.019 м ; m_X = 1 мм
Y = 346.268 м ; m_Y = 1 мм
Сравним с результатами из Credo Dat:

Расхождения в координатах 1 мм. Результаты оценки точности практически совпадают.

 

Возможные ошибки при решении треугольника: https://geodesist.ru/threads/sko-pri-linejno-uglovoj-zasechki.86475/page-8#post-988332

 

Отмечу небольшую особенность в ходе решения. Координатная невязка при вычислении поправок в приращения координат распределена поровну, поскольку измерения линий были приняты как равноточные. То есть даже несмотря на то, что там подписано, цитирую "по аналогии с теодолитным ходами", на самом же деле это не совсем так.

В ведомостях теодолитных ходов координатную невязку распределяли пропорционально длинам сторон. Это было целесообразно, поскольку в давние времена зависимость точности измерения линий от длин сторон была намного более выраженной (прежде всего при использовании оптических дальномеров и рулеток). В упрощённой схеме решения можно распределять координатную невязку и таким образом.

Можно применять и третий подход - распределение координатных невязок не пропорционально длинам сторон, а пропорционально приращениям координат. В этом случае поправки в приращения координат будут более выражено исправлять ошибки линейных измерений, поскольку все линии будут исправляться только в продольном направлении (т.е. только вдоль линий).

Наконец, четвёртый подход - распределение координатных невязок обратно пропорционально длинам сторон. Здесь эффект будет обратным - поправки в приращения координат будут более выражено исправлять остаточные ошибки направлений (дирекционных углов) линий.

Также отмечу и по оценке точности. Оценка пункта Т3 была выполнена как бы относительно исходного пункта Т1 путём искусственного введения величин СКО в уравненную линию Т1-Т3 и уравненный угол при вершине Т1. Таким образом было показано, насколько величины СКО углов и линий могут влиять на положение определяемого пункта Т3. Можно выполнить аналогичное действие и относительно пункта Т2. Строго говоря, такую оценку нельзя назвать СКО положения пункта Т3, критерий здесь другой. Это можно условно обозвать как "проверка влияния СКО углов и линий на положение определяемого пункта" или что-то вроде того. Для упрощённой схемы этого достаточно.

 

А ты не пробовал рассчитать длины из "жёсткой" стороны и уравненных углов? Нет? А как твои "уравненные" стороны согласуются с углами?

 

Они не будут полностью согласовываться при таком решении. Решение нестрогое, во многом аналогично ведомости теодолитного хода.

 

Как это не будут? Давай, давай "студент" по-подробнее. Причины, по которым "они не будут полностью согласовываться" ? Нука-нука?

 

Причина? Очень просто. Сама возможность выбора принципа, по которому могут распределяться координатные невязки, уже говорит о том, что линии могут определяться неоднозначно вне зависимости от углов. Прочитайте сообщение номер 3.

 

Именно поэтому я против названия данного топика. Нормальное название - "Решение треугольника". И согласно решению треугольника, как только ты получаешь согласованные углы, все стороны рассчитываются из "жёсткой" стороны, чтобы треугольник стал полностью согласованным. А твои 1,2,3,4 - ни о чём.

 

То есть из линий вычислить углы, в углы раскидать невязку, а потом из этих углов снова вычислить линии? Тоже вариант, почему бы и нет. Причём лишённый такого несоответствия. Можете опубликовать здесь пример такого решения, если угодно.

Это некое подобие учёта баланса углов и линий. Ну, ни о чём, так ни о чём. Если так подумать, то в современных условиях и само решение - тоже ни о чём. Это я так, для своего удовольствия.

--- Сообщения объединены, 30 янв 2021, Оригинальное время сообщения: 30 янв 2021 ---

Не отражает весь смысл изложенного, как по мне. Раз уж я тему начал, то пусть будет как я хочу

 

Продолжу твой пример. Согласованные углы:

Код:

βT1 = 55° 06' 17.8" - 0.4" = 55° 06' 17.4" ;
βT2 = 89° 45' 28.9" - 0.5" = 89° 45' 28.4" ;
βT3 = 35° 08' 14.6" - 0.4" = 35° 08' 14.2" .

"Жесткая" сторона:

Код:

ST2-T1 = 102.638 м

Решение сторон:
Радиус описывающей окружности:

Код:

R = ST2-T1 / sin(βT3) = 102.638 / 0.5755374348405111 = 178.3341860785169

Длины сторон:

Код:

ST3-T1 = R * sin(βT2) = 178.3341860785169 * 0.9999910720132944 = 178.3326
ST3-T2 = R * sin(βT1) = 178.3341860785169 * 0.8202001377971162 = 146.2697

Поправки в длины сторон:

Код:

vST3-T1 = 178.3326 - 178.333 = -0.0004
vST3-T2 = 146.2697 - 146.270 = -0.0003

PS: При этом никто не запрещает в те же формулы подставить несогласованные значения для получения оценки.

 

Из вашего решения координаты Т3 получились: Х = 302.0199 м; Y = 346.2684 м .
У меня, если не округлять: X = 302.0184 м ; Y = 346.2687 м .
А в Credo Dat, если не округлять:

Из вашего решения совпадение с программой получше будет.

В моём решении надо было распределять координатную невязку пропорционально приращению координат, потому что линии по оценке дают большую погрешность, чем углы. Если распределить так, то получится: X = 302.0192 м ; Y = 346.2687 м . Во, уже получше, а вы говорите "ни о чём".

Ладно, пока с меня хватит этого баловства с расчётами. Можете для сравнения привести решение из других программ, если вам угодно.

 

Это не баловство! В маркшейдерии решение треугольников - ключевая задача, с помощью которой проводятся все ориентировки выработок. Эту задачу каждый маркшейдер должен уметь на простейшем калькуляторе (а если чуть откатить, то на счётах).

 

Сдаётся мне, что в шахтных условиях не особенно то развернёшься для таких треугольников. Или вы имеете в виду внешнюю сеть на поверхности? Впрочем, ответ на вопрос, наверное, мало что мне даст. Лучше учебники по маркшейдерскому делу поглядеть.

 

В том то и дело, что не для "таких". В ВСН 160-69 посмотри "Ориентировку через ствол".

http://gostrf.com/normadata/1/4294851/4294851042.pdf , глава 8 (стр.78).

 

Как же им не совпасть? При столь малых невязках в измерениях любые способы вычислений (строгий или упрощённый) будут давать расхождения в пределах невязок. Для сравнений ручных способов с Кредо Дат надо брать примеры с большими невязками, тогда разница будет более наглядной. Кроме того на результаты расчётов в Кредо Дат влияют априорные СКО углов и линий. Попробуйте и сравните на другом примере с большими невязками.

Ваша методика, как способ нестрогого решения задачи, вполне годится.
А вот с оценкой точности у меня есть большие сомнения.
Например, оценка угловых измерений:
Можно ли рассчитывать СКО по невязкам в треугольнике, где один угол измерен, а остальные углы вычислены по длинам сторон, две из которых измерены, а третья получена из ОГЗ? Очень сомнительно.
Или оценка линейных измерений:
Ни абсолютная, ни относительная невязки не являются СКО измерения линии. Это частный случай сложения (распределения) случайных ошибок из нескольких измерений.

 

"Студент" делает именно то, чему его целенаправлено обучали много лет, а именно - подгоняет. Чего же Вы теперь от него хотите?

"Вы либо крестик снимите, либо штаны оденьте".

 

Это не оценка измерений, а оценка линейных и угловых элементов треугольника. Причём вне зависимости от их природы - измерены они или вычислены как функция других известных величин.

Можно, но оценка по невязке не будет отличаться надёжностью, потому что треугольник всего один. Повысить надёжность можно, выполнив измерения в 2-3 приёма и вычислив невязки в каждом конкретном приёме.

Здесь аналогично с угловой невязкой в треугольнике. Оценка не очень надёжна, потому что линий всего лишь две. Да, это частный случай сложения ошибок в данной конкретной ситуации. Но стоит заметить, что относительная невязка имеет связь с относительной СКО измерения линий. Например, в построениях сетей низших порядков - разрядная полигонометрия и системы теодолитных ходов. Допустимая относительная невязка в таких сетях принималась равной относительной СКО измерения линий. Здесь использовался тот же подход.

Ну, в общем, так оно и есть. Я уже поразмыслил над той альтернативой уравниванию, которую вы предлагали в одной из тем, но так и не смог понять реализацию вот этого "сокращения ошибок". В чём оно состоит? В данном случае, пожалуй, понятно - можно без всяких вычислений наложить конструкцию из измеренного угла β₃ и двух измеренных линий S_Т3-Т2 и S_Т1-Т2 на известный базис S_Т1-Т2 таким образом, чтобы уклонения концов измеренных линий от концов базиса удовлетворяли условию метода наименьших квадратов (МНК) или, как вариант, метода наименьших модулей (МНМ). А если взять не данный треугольник, а более большую и сложную сеть?

 

А, у тебя тоже "Поиск..." не фурычит? Не видя темы, не могу ответить. "У меня ещё много идей". Сорян.

С точки зрения ТМОГИ это запрещённый приём, так как предполагает только наложение, но не вписывание. Пользовать можно, но только втихую, не предъявляя.

 

zvezdochiot, вы так быстро отвечаете, я даже сообщение редактировать не успеваю.

Поиск работает, конечно, так себе, но вроде привык. По каким ключевым словам выполнять поиск?

 

Тебе виднее. Я вообще не понимаю, как он здесь работает.